Topic outline

  • General

    MATHEMATIK für begabte und interessierte SchülerInnen

    ernstnikolaphillippsebastiansebastian
    Ernst Steger, Nikola Stepanovic, Phillip Entfellner, Sebastian Gahrrad, Sebastian Huber
    Üstündag Rebecca, Melanie Sigl, Manuel Bamberger, Bernhard Nothnagel, Tobias Parandian
  • Topic 1

    Kreispackungen
    Wenn man (Einheits-)Kreise (r=1) eng aneinander packt, dann bieten sich zunächst zwei Möglichkeiten an:
    hexagonal
    quadratisch
    hexagonal (im Sechseck)
    quadratisch (im Quadrat)
    Dabei stellen die beiden Rauten Extrempositionen dar.
    hexagonal: 60°-Raute (minimale Höhe)
    quadratisch: 90°-Raute (maximale Höhe)
    Somit stellt die hexagonale Anordnung die beste und die quadratische die schlechteste Packung dar.
    Wie dicht liegen die Kreise?

    Dichte = Inhalt / Zelle

    hexagonal: Inhalt ist ein voller Kreis (π), Zelle ist eine 60°-Raute (2√3) =>
    Dichte = π/(2√3) ~ 0,907 d.s. 90,7%
    quadratisch: Inhalt ist ein voller Kreis (π), Zelle ist ein Quadrat (4) =>
    Dichte = π/4
    ~ 0,785 d.s. 78,5%
    Alle anderen Packungsdichten liegen dazwischen.
    • Topic 2

      Kugelpackungen
      Wenn man (Einheits-)Kugeln (r=1) möglichst eng verpacken will, dann gibt es in der Ebene (also eine Schicht) einmal folgende Möglichkeiten:
      linear
      quadratisch
      hexagonal
      linear ("Wurst")
      quadratisch
      hexagonal
      Auch können wir die Dichte wieder berechnen als Inhalt / Zelle:
      linear: 1Kugel (4π/3), 1Zylinder (2π) => Dichte = 2/3
      ~ 0,67 d.s. 67%
      quadratisch: 1Kugel ( 4π/3), 1Würfel (8) => Dichte = π/6
      ~ 0,523 d.s. 52%
      hexagonal: 1Kugel (4π/3), 1Prisma (4√3) => Dichte = π/(3√3)
      ~ 0,604 d.s. 60%
      Die "Wurst" ist also am dichtesten gepackt.
      Nun türmen wir eine zweite Schicht darüber:
      quadratisch versetzt hexagonal versetzt
      quadratisch versetzt
      hexagonal versetzt
      Wir werden sehen, dass beide Anordnungen zu der gleich dichten Packung führen:
      (1) quadratisch versetzt: Zelle ist ein schiefes Prisma mit quadratischer Grundfläche (4) und Höhe √2 => Dichte = (4π/3) / (4√2) = π/(3√2)
      ~ 0,74 d.s. 74% (optimale Dichte)
      (2) hexagonal versetzt: Zelle ist das gleiche schiefe Prisma => Dichte ebenfalls 74%.

      Mit Styroporkugeln wurden beide Varianten aufgebaut und verglichen:
    • Topic 3

      Geodäten
      Was sind geodätische Linien? Das sind Linien auf der Oberfläche eines Körpers, u.z. jene Linien, die die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf dieser Oberfläche darstellen. In der Ebene ist dies eine Gerade. Auf einer Kugel ist dies ein Großkreis (mit Kugelmittelpunkt als Mittelpunkt).
      Wir schauen uns mit Geo3D einmal Kreise auf einer Kugel an:
      Kreise auf der KugeloberflächeDer rote Kreis ist ein Großkreis, der blaue nicht.
      Wir wählen zwei Punkte auf dem Globus und suchen die kürzeste Verbindung auf der Oberfläche (die beste Flugroute). Der zugehörige Großkreis liefert stets die kürzeste Verbindung. Überzeuge dich mit folgender Datei:
      Kürzeste VerbindungDie Datei enthält einen Schieberegler, mit dem man gut beobachten kann, dass wirklich der Großkreis die kürzeste Verbindung darstellt.

      Nun wollen wir eine geodätische Linie auf einem Quader studieren:
      Quader
      Was ist die kürzeste Verbindung
      zwischen den beiden Punkten?
      Dazu folgende Aufgabe:
    • Topic 4

      Arbeiten mit SketchUp
    • Topic 5

      Formeleditor

      c = \sqrt{a^2+b^2}
       \sum_{i=0 }^{10 } i^2
      • Topic 6

        Umschütten
        Man hat ein 8-L-Gefäß und ein 5L-Gefäß ohne Markierung.
        Wie kann man 5 Liter erreichen?
      • Topic 7

        Formel ermitteln
        Gegeben sind eine gewisse Anzahl n von Punkten in der Ebene.
        Nun wird jeder Punkt mit jedem anderen verbunden.
        Es sollen sich dabei keine drei Linien in einem Punkt treffen.
        Wie viele Schnittpunkte (incl. Anfangspunkte) zählt man?
        Wie viele innere Gebiete zählt man?
        Wie viele Strecken zählt man?